Archiv: Diese Seiten werden nicht mehr direkt bearbeitet!
Nur im Bereich Kurven bei Mathematik-Verstehen findet Pflege und Weiterführung dieser Themen statt.
Allerlei zu , Kurven aufgeteilt in Kegelschnitte und Höhere Kurven
Direkter Link auf das Thema dieser Seite: Höhere Kurven
Exposystem Johanneum zur EXPO 2000 cissoiden


Johanneum 1998
Alphabetischer Index unten
Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

Lemniskate und andere Cassinische Kurven

Definition

Eine Cassinische Kurve ist der Ort aller Punkte, bei denen das Produkt der Abstände zu zwei festen Punkten konstant ist.

Konstruktion Typ I

  1. Zeichne eine Gerade mit zwei Punkten F1 und F2 und ihrem Mittelpunkt M.
  2. Setze einen Punkt A auf die Gerade und miss die Strecke MA.
  3. Wähle einen beliebigen freien Punkt Z, und miss die Strecke ZF1.
  4. Schlage um F1 einen Kreis durch Z.
  5. Schlage um F2 einen Kreis mit dem Radius MA*MA/ ZF1.
  6. Die Schnittpunkte der Kreise sind P und Q.
  7. Die Cassinische Kurve ist dann sie Ortskurve von P, bzw. von Q, wenn der Kreis um F1 durch Ziehen an Z verändert gemacht wird.
  8. Durch Veränderung des Abstandes MA erhält man weitere mögliche Cassinische Kurven.

Konstrunktion Typ II, ohne Rechnung

Mathematisch elganter ist, die verschiedenen Faktoren für das Abstandsprodukt geometrisch zu erzeugen anstatt durch Ausrechnen herzustellen. Das gelingt durch zweimaliges Scheren. Durch Ziehen an Z entsteht ein zum blauen flächengleiches rotes Rechteck. Seine Kanten werden als Radien für Kreise um F1 und F2 verwendet. Damit ist für P das stets gleiche Abstandprodukt gesichert.
.
Das blaue Rechteck hat e als eine Kante. Ist die andere Kante auch e, entsteht die Lemniskate, ist sie kürzer, zerfällt die Cassinische Kurve in zwei Teile. Bei Verlängerung geht die Form in die Ovale über.
Bei dieser Methode kommen die Punkte in der Mitte handwerklich nicht immer zustande.

Geschichte

J. D. Cassini (1625-1712) glaubte, dass die Sonne sich um die Erde dreht. Und das, obwohl durch Kopernikus, Galilei und Kepler schon das Umgekehrte bekannt war. Als Gesetz für die Bahn der Sonne nahm erdie Konstanz des Abstandsproduktes an, also die hier besprochenen Kurven, die man seitdem Cassinische Kurven nennt. In einem Brennpunkt sollte die Erde stehen.
Gefunden hat sie der Grieche Perseus (etwa 250 v Chr.), als er Schnitte durch Drehkörper untersucht hat.
Eine spezielle Cassinische Kurve ist die Bernoullische Lemniskate, nach Jakob Bernoulli (1654- 1705). Sie hat viele besondere Eigenschaften. Sie ist sowohl Inversionsbild als auch Fußpunktkurve der rechtwinkligen Hyperbel ist. Ihre größte Dicke ist gleich der Brennweite.

Formeln der allgemeinen Cassinischen Kurven

Der Ursprung liege in M.

Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten
oder
Dieses ist eine algebraische Gleichung 4. Grades, weil x und y nur in Summen und Produkten vorkommen und der höchste Exponent (nach dem Klammerauflösen) 4 ist. Darum sind die Cassinischen Kurven algebraischen Kurven 4. Grades.

Gleichung in Polarkoordinaten,

Eine Gleichung in Parameterdarstellung haben wir nicht gefunden.

Formeln der Bernoullischen Lemniskate

Der Ursprung liege in M.

Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten
Dieses ist eine algebraische Gleichung 4. Grades, weil x und y nur in Summen und Produkten vorkommen und der höchste Exponent (nach dem Klammerauflösen) 4 ist. Darum ist die Lemniskate eine algebraische Kurve 4. Grades.

Gleichung in Polarkoordinaten,

Gleichung in Parameterdarstellung

Bei Schupp/34 finden sich noch allgemeinere Lemniskaten von James Booth (1810-1878). Auch von diesen ist die Bernoullische Lemniskate ein Spezialfall.
Nur im Bereich Kurven bei Mathematik-Verstehen findet Pflege und Weiterführung dieser Themen statt.
Allerlei zu , Kurven aufgeteilt in Kegelschnitte und Höhere Kurven
Direkter Link auf das Thema dieser Seite: Höhere Kurven


Autoren Klasse 8aL Constanze Schmidt, Luanne Peter, Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, letzte Änderung am 28. April 2007
Exposystem [Mathematik als Erfindung] [KurvenÜberblick [Dokuteam] [Email s.Ueberblick] [MathematikInformationssystem