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Johanneum 1998
Alphabetischer Index unten
Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

Didaktik und Methodik
algebraischer Kurven

Pädagogische Situation in der Klasse 8 aL Fachliche Vorgeschichte
Didaktische Einordnung und Begründung Methodische Ansätze und Ziele
Beschreibung des Ablaufs Fazit und Ausblick

obPädagogische Situation in der Klasse 8 aL
Eine muntere mittelgroße Klasse 8 hatte sich im ersten Halbjahr   -entwicklungsbedingt natürlich- mehr mit sich als mit Schule und Lernen befasst. Zumal ich selbst Klassenlehrerin war, empfand ich es als dringend nötig, die Freude am Lernen und Erkunden wieder zu wecken. Die algebraischen Themen dieser Klassenstufe erwecken bei den Jugendlichen im allgemeinen -so auch hier- kein sonderliches Interesse, da sich der Nutzen des Gelernten kaum erschließt. Für ein Empfinden der formalen Ästhetik der Mathematik ist die lernpsychologische Situation in diesem Alter (13-14 Jahre) noch nicht geeignet. So habe ich versucht, die Schönheit  der Geometrie für sich sprechen zu lassen und gleichzeitig durch die zugehörigen Formeln ein Licht auf den Nutzen der Algebra zu werfen. Darüberhinaus hoffte ich sehr, durch die Ermöglichung freieren Arbeitens das Verantwortungsgefühl für das eigene Lernen stärker zu entwickeln.

obFachliche Vorgeschichte
In Klasse 7 hatte ich mit dieser Klasse mit dem Dynamischen Geometrie System EUKLID gearbeitet. Ausführliche Informationen zu DGS
Bericht dieser Klasse   Im Verlauf der 7. Klasse waren die Richtlinien Geometrie Klasse 7/8 bis auf die Kongruenzsätze erfüllt.  Da Geometrie sehr gern und auch gerne mit Computerunterstützung betrieben worden war, war es sinnvoll, in Klasse 8 mehr als nur dieses Restthema zu behandeln. Leitgedanke wurde der Begriff der Ortskurve.

obDidaktische Einordnung und Begründung
Ein wichtiges Thema in der zweiten Hälfte der Klasse 8 ist die Grundlegung des Funktionsbegriffs. Aus leidvoller Erfahrung wissen die Mathematiklehrer, dass in diesem Punkt bis weit in die Oberstufe hinein Elementares nicht verstanden ist.
Auf der Suche nach Ursachen stößt man  auf die Einschränkung der Funktionsbegriffs auf die lineare Funktion, die Gerade, wie sie in Klasse 8 nach einer mehr oder weniger halbherzigen und schnellen Einführungsphase vorgenommen wird. Hier leisten  leider die Richtlinien, die Lehrbücher und Notwendigkeit, abfragbares Wissen zu erzeugen, Vorschub. Der Kern, nämlich die eindeutige Vorschrift, wird meist schnell aus den Augen verloren.  
Weiterhin werden  Funktionsgraphen  fast immer ausschließlich im kartesischen Koordinatensystem dargestellt, außer x und y tauchen allenfalls physikalische Größen auf. Diese Regel, die meist erst für Leistungskurse im Jahrgang 13 aufgehoben wird, schränkt das Funktionsverständnis, wenn es denn endlich vorliegt, in unzulässiger Weise ein. Ein erweitertes Verständnis ist nicht nur mathematisch sinnvoll, sondern geradezu notwendig, wenn der Mathematikunterricht seine Kalkülfixierung aufheben will.

Der Ortslinienbegriff selbst ist Anfang der 70-iger Jahre leider in der Welle der "Strukturmathematik" aus dem Schulunterricht fast verschwunden. Mit Hilfe der Computer-Mathematikwerkzeuge lässt er sich in zeitgemäßer Weise mit neuem Sinn füllen. Die interaktiven und graphischen Möglichkeiten der Computer  können allen Schülern Bereiche erschließen, die früher nur den Begabtesten offenstanden.   Dabei geht es in Klasse 8  natürlich um eine propädeutische Stufe, und keinesfalls um "Herleitungen" analytischer Art.
Das genaue Befolgen einer Konstuktionsvorschrift erst mit Zirkel und Lineal, dann mit "EUKLID", das Beobachten, das Beschreiben, das Variieren, das Begründen einzelner Eigenschaften, das Erkunden und Klassifizieren der vorkommenden Typen, das alles sind "urmathematische Tätigkeiten", deren Pflege dem Ziel von Mathematikunterricht -so wie ich es sehe- wesentlich näher kommt, als die Pflege von Kalkülen.

Dabei verkenne ich keineswegs, dass auch die anerkannt notwendigsten Kalküle dann, wenn sie im weiteren Verlauf des Unterrichts oder nach der Schule benötigt werden, kläglich unzulänglich beherrscht werden. Über die Gründe dafür wird zur Zeit mit Recht viel nachgedacht. Ich schreibe das Versagen aber nicht etwa dem zu geringen Übungsgrad, sondern eher der Sanktionierung von sinnentleertem Üben über zu große Zeiträume zu. Unter letzterem Phänomen leidet gerade Klasse 8. Durch die Mitteilung der Formeln der auf geometrische Weise erzeugten algebraischen Kurven habe ich also versucht, für die Schüler eine Brücke zu schlagen zwischen den im Schulbuch reichlich   vorkommenden sinnentleerten Termen und den als schön und interessant empfundenen Kurven.

Der wirkliche Anwendungsbezug  der Kurven war mir durchaus wichtig, aber nicht alleiniges Motiv. Wie jede Kunst hat auch die Mathematik eine innewohnende Schönheit und Berechtigung.

obMethodische Ansätze und Ziele
In Mathematik ist die sogenannte "fragend-entwickelnde Unterrichtsmethode" vorherrschend oder zumindest am Gymnasium sehr häufig anzutreffen.  In diesem Fach können sich Schüler (bis auf einzelne)  nicht eigenständig "Literatur" oder gar "Quellen" erschließen. (Wer's nicht glaubt, der frage zehn beliebig herausgegriffene gebildete Erwachsene, die nicht einschlägig studiert haben.) Auch in den Medien kommen mathematische Themen allenfalls als Knobeleien vor.Damit fehlen die in anderen Fächern möglichen Materialien für eigenständige Arbeit. Schulbücher und Lehrer sind auf passende Dosierung und Portionierung angewiesen. Die Beschränkungen betreffen weniger die Ideen, sondern  vor allem die noch nicht in hinreichendem Maß entwickelten Fähigkeiten der Schüler und die Zeit, die sie für eine Lösung benötigen.
In dieser Hinsicht bieten heute die Computerwerkzeuge entscheidende Hilfen: Sie ersetzen nicht die Idee, aber sie ermöglichen schnelle Prüfungen, regen  zur Variation der Lösungsidee an, sparen Zeit beim Ausprobieren, visualisieren, tragen zur Klärung bei.   Bei alledem sind sie unerbittlich streng, aber nicht "nachtragend", und damit wirken Sie erzieherisch gegen "Schlamperei". 
Der Einsatz des Computers, hier eines dynamischen Geometriesystems (DGS), erlaubt also endlich, das freie Arbeiten mit eigenem Tempo in einer nicht gegängelten Situation zu lernen, zu üben  und zu pflegen.
Auch das Arbeiten mit Zirkel und Lineal und die Beschreibung der Konstruktion sollten weiter geübt werden.
Schülergruppen hatten abschließend eine Kurve oder Kurvenklasse zu betreuen. Es wurden gemeinsam Kriterien entwickelt, was in der (elektronischen) Präsentation vorkommen sollte.

obBeschreibung des Ablaufs
In einer Einführungsphase wurden "gängige" Ortsaufgaben, die auf Geraden oder Kreise führen, gestellt und zunächst mit Zirkel und Lineal gelöst. An den unübersichtlicheren Aufgaben wurde der Umgang mit dem EUKLID wieder aufgegriffen und das Ortslinienwerkzeug eingeführt. Dazu arbeitete die Klasse im Computerraum, meist nur eine allenfalls zwei von drei Wochenstunden. Etwa die Hälfte der Schüler hatte das Programm auch zuhause. Ob die Hausaufgabe mit Zirkel und Lineal oder mit EUKLID (und dann gedruckt) ausgeführt wurde, war den Schülern freigestellt. Es hat sich gezeigt, dass einige Freude an der "händischen" exakten Arbeit hatten, unabhängig vom Vorhandensein eines Computers zuhause. Anderen genügte ihr eigenes Zeichenvermögen nicht, sie fanden die Computerzeichnungen "schöner" und klebten sie in ihre Mappe. Bei einer dritten Gruppe war die notorische Unlust so stark, dass sie kaum Hausaufgaben machten.  Immerhin aber hatten sie die Unterrichtsstörungen eingestellt.

Es wurden alle Kurven gemeinsam erarbeitet. Je nach Fall stand am Anfang eine "große" Demonstration mit Band, Stangen, Lichtstrahlen u.ä.
Daran schoß sich eine freie Arbeit an der Realisierung an. Sie mündete in eine gute Zeichnung, von Hand oder mit Computer. Abschließend wurden die Eigenschaften der Kurve so gut als möglich geometrisch begründet. Die Formeln wurden mit meiner Hilfe aus dem Heft von Weth oder aus Büchern entnommen und (wie oben erläutert) nur "angesehen". An Ellipse und Parabel habe ich die Zusammenhänge zwischen Formel und Graph ausführlicher deutlich gemacht und die SChüler auch selbst Graphen rechnen lassen.
Die Betreuung der Gruppen, die je eine  Kurve gut darstellen sollten, erwies sich als schwierig. Sie sollten sich eigentlich aus bereitgestellten Büchern zur Geschichte und zu Anwendungen der Kurven etwas heraussuchen. Das hat nur bei wenigen geklappt. Schüler dieses Alters sind offenbar noch nicht in der Lage, "selektiv" zu lesen. Der nur dreistündige Unterricht und die Klassenleitungsaufgaben ließen  auch zu wenig Zeit, alles im Unterricht zu machen. So gab es in den Gruppen   "Trittbrettfahrer", aber immerhin hatte ich dann von jeder Gruppe eine Konstruktionsbeschreibung, eine Konstruktionszeichnung, eine Ergebniszeichung, von den besseren Gruppen auch Diskussion der verschiedenen Ergebnisse und geschichtliche Hinweise und Anwendungen.
An Unterrichtszeit habe ich den Februar und März (8 Wochen, je max. 3 Stunden) verwendet und am Ende eine Klassenarbeit geschrieben.

obFazit
Auch für mich war dieses ungewöhnliche Thema eine neue Erfahrung. Aus meiner Sicht hat es sich sehr gelohnt. Meine Hoffnungen bezüglich der Haltung zur Mathematik und bezüglich der "Entdeckerfreude" sind i.w. in Erfüllung gegangen. Ich war selbst erstaunt, mit welcher Selbstverständlichkeit die Besonderheiten wie Doppelpunkte, Asymptoten, Begrenztheit (der Definitionsbereiches) als "natürlich" hingenommen wurden. Es zeigte sich auch, dass im Anschluß das Thema "Geraden" tatsächlich als Eingrenzung auf einen besonders leichten Fall sehr schnell verstanden wurde. Auch bei Bruchtermen und Bruchgleichungen, wie sie am Ende von Klasse 8 noch üblich sind, konnte ich eine ungewöhnliche Bereitschaft, sich damit zu befassen, feststellen. Ob nun auf lange Sicht ein Lernerfolg verbessert wird, kann ich naturgemäß nicht beweisen, habe aber guten Grund, das zu hoffen. Für die Durchführung hätte ich gern noch mehr Zeit gehabt.

untIn der Mathematik existieren diese schönen Kurven, ihre Gesetzmäßigkeiten, ihre Gleichungen und innermathematischen Bezüge ohne Rücksicht und Rückgriff auf die Anwendungen und die Anwender. Es wäre verfehlt, dieses Thema lediglich unter dem Aspekt der Nützlichkeit für die "Welt" in der Schule zu behandeln. Die Nützlichkeit für die pädagogische Situation habe ich oben erläutert.
Hier zeigt sich in besonders klarer Weise, dass Mathematik nicht eine Reaktion des Menschen auf die Anforderungen der Umwelt ist, sie ist in den meisten ihrer Möglichkeiten nicht nötig für den "Überlebenskampf".  Ungeachtet der verschiedenen   Ansätze zu der philosophischen Frage, ob die Mathematik ohne den Menschen überhaupt existiert oder erst  durch ihn in die geistige Welt tritt, erfordert sie, um überhaupt vom Menschen erlebt zu werden, ständiges Erfinden, neues Sehen, neues Ordnen.   Insofern ist die Erfahrung von Mathematik eine zum Menschen gehörende geistige Tätigkeit.

Also: Die Mathematik als Erfindung des Menschen.

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Autorin und Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, letzte Änderung am 28. April 2007
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