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Johanneum 1998
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Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

Ellipse

ellipse Definition

Die Ellipse ist eine ebene Kurve, die zu den Kegelschnitten gehört. Die Ellipse wird von einem Punkt durchlaufen, dessen Abstände von zwei festen Punkten F1, F2 (den Brennpunkten) eine konstante Summe besitzen.
Wir haben zuerst mit einem langen Band eine Ellipse an die Tafel gezeichnet.

Konstruktion Typ I

Zuerst werden die Brennpunkte F1 und F2 gesetzt, die durch eine Gerade verbunden werden. Eine Abstandssummme wird festgelegt (z.B L=10 cm). Als nächstes wird um F1 ein Kreis mit beliebigen Radius geschlagen, sein Radius r wird gemessen, r = 4 cm. Um F2 wird ebenfalls ein Kreis geschlagen, der den Kreis um F1 "ergänzen" soll. Sein Radius muss so gewählt werden, daß die festgelegte Abstandssumme entsteht. In diesem Fall 6 cm, denn 10-r=10-4=6. Die Kreise schneiden sich in einem Punkt P. Er bildet als Ortskurve die Ellipse, wenn man r verändert.

ellipseKonstruktion Typ II ohne Rechnung

Man legt sich eine Strecke A'B', den Faden zurecht und setzt auf sie den Teilungspunkt P'. Als Radien der Kreise um die Brennpunkte nimmt man nun die Abstände von P' zu den Streckenenden. Zieht man an P', beschreibt P die Ellipse.
Verschiedene Formen erhält man durch verschiedene Fadenlängen. Auch die Brennweite kann man verändern.
Insbesondere erhält man einen Kreis, wenn die Brennpunkte aufeinander liegen.

Bezeichnungen

  • AO und BO heißen große Halbachse a.
  • CO heißt kleine Halbachse b.
  • F1, F2 heißen Brennpunkte,
  • Entfernung F1 O heißt Brennweite e
    e heißt auch lineare Exzentrizität.
  • Für jeden Punkt P auf der Ellipse gilt:
    P F1 + P F2 = AB =2 a = konstant

Formeln






Polarkoordinaten

Stangenkonstruktion der Ellipse

Eine Stange fester Länge wird im Verhältnis a : b geteilt. Die Enden der Stange rutschen auf den Kooerdinatenachsen. Dann beschreibt der Teilungspunkt eine Ellipse mit den Halbachsen a und b.
Wir haben das zuerst mit Holzstangen an der Tafel beobachtet. Dass es wirklich Ellipsen sind, können wir aber in Klasse 8 noch nicht beweisen.
Mit dem Ti92 kann man auch die Spur der Stange verfolgen. Dann erscheint eine schöne Karoform, die Astroide

 


Ellipsoid

Ein Ellipsoid ist ein geometrischer Körper. Das Rotations-Ellipsoid entsteht, wenn eine Ellipse um eine ihrer beiden Achsen rotiert.
Die allgemeinste Form hat aber nur 3 Symetrieebenen; a große, b mittlere und c kleine Halbachse.

Anwendungen

Seit der Zeit der Griechen wurde die Konstruktion der Ellipse zum Anlegen geometrischer Gartenflächen  benutzt. In den Schlossgärten aus der Barockzeit wurden Beete und Rasenflächen geometrisch angelegt. In derselben Zeit sind auch Fenster in Ellipsenform gebaut worden.
Eine Ellipse tritt auch auf, wenn man eine Wurst schräg anschneidet.
Mit der Ellipse als Kegelschnitt hängt direkt zusammen, dass man mit dem Lichtkegel einer Taschenlampe an einer weißen Wand eine Ellipse erzeugen kann.
Wenn man einen Kreis aus einer schrägen Blickrichtung ansieht, sieht man eigentlich eine Ellipse. Nur wenn man weiß, dass es eigentlich ein Kreis ist, nimmt unser Gehirn das gar nicht wahr.
Die Ellipse hat -wie auch auch die anderen Kegelschnitte- noch wichtige Reflexionseigenschaften

Die drei Keplerschen Gesetze der Planetenbewegung  Das fand Johannes Kepler (1571-1630)
Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Der Fahrstrahl Planet-Sonne überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich zueinander wie die dritten Potenzen  der großen Halbachsen ihrer Bahnen.
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Autoren Klasse 8aL Maike, Harriert, Maria, Anna-Maria, Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, letzte Änderung am 28. April 2007
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