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Exposystem Johanneum zur EXPO 2000 cissoiden


Johanneum 1998
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Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

Hyperbel

Definition

Die Hyperbel ist der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei festen Punkten F1 und F2, den Brennpunkten, eine konstante Abstandsdifferenz besitzen.
Die Hyperbel ist eine ebene Kurve, die zu den Kegelschnitten gehört.

Konstruktion Typ I

Zuerst werden die Brennpunkte F1 und F2 gesetzt, die durch eine Gerade verbunden werden. Eine Abstandsdifferenz wird festgelegt (z.B L= 4,01 cm). Sie hat die Bedeutung des Scheitelabstandes. Als nächstes wird um F1 ein Kreis mit beliebigen Radius geschlagen, sein Radius r wird gemessen, r = 5,73cm. Um F2 wird ebenfalls ein Kreis geschlagen.. Sein Radius muss so gewählt werden, daß die festgelegte Abstandsdifferenz  entsteht. In diesem Fall  1,62 cm, denn 5,73-r=4,01. Die Kreise schneiden sich in einem Punkt P. Er und seine Spiegelpunkte bilden als Ortskurve die Hyperbel, wenn man r verändert.
Hier ist die Gerade, auf der Z nach außen gezogen wird "heimlich" als Asymptote konstruiert, denn ein Kreis um O durch die Ecken des  Rechtecks schneidet die x-Achse in F1 und F2. Das Rechteck hat die Kanten 2a und 2b. Das passt zur Brennweiten-Formel der Hyperbel: 

Hyperbelgleichung für die Mittelpunktslage mit den Halbachsen a und b In der Paramterdarstellung der Hypelbel stehen der cosinus hyperbolicus und der sinus hyperbolicus, die wegen dieser Eigenschaft ihren Namen bekommen haben.

mit ist die Polargleichung eines Astes.

 

Experimentierblätter für die Arbeit von Hand

Gezeichnet sind zwei "Kreiswellensysteme". Man kann nun Hyperbelpunkte durch Abzählen erzeugen und farbig markieren. Man nimmt sich eine Differenz vor, z.B. 2 und markiert die Schnittpunkte von Kreis 6 rechs und 4 links, dann 7 rechts mit 5 links, 8 mit 6 usw.
So entstehen die Hyperbelbögen.

In dieser Weise eignet sich das Blatt für eine Klassenarbeit  nach dieser Unterrichtsphase. Das Verfahren geht entsprechend auch für die Ellipse mit diesem Blatt.
Blatt in größer Darstellung als Vorlage (12K)


Anwendungen


Wenn man tatsächlich  zwei "Kreiswellensysteme" auf einer Wasseroberfläche erzeugt, so verstärken sich die Wellen, wo Berg auf Berg oder Tal auf Tal trifft. Man nennt dieses Phänomen Interferenz, die Linien der Verstärkung sind die Interferenz-Hyperbeln.
Interferenz tritt auch bei Schallwellen, bei Lichtwellen, Funkwellen u.a. auf. So dient sie  vielen Messvorgängen als Grundlage.

Beim Spiegelteleskop wirken wirken die Kegelschnitte in ihren Reflexionseigenschaften zusammen.

Kühltürme und Silos haben Hyperbelquerschnitt, sie sind Rotationshyperboloide. Das liegt vor allem daran, dass auf ihnen trotz der runden Form Geraden liegen. Daher kann man sie aus Beton gut bauen.

Eine räumliche Fläche kombiniert aus Hyperbel und Parabel, das hyperbolische Paraboloid,  kommt im Straßenbau vor, wenn am Berg zwei Straßen aufeinandertreffen und der Übergang "ausgerundet" werden muss.

Auf  Hyperbelbahnen fliegen Himmelskörper die nur vorübergehend in das Schwerefeld eines Sternes  oder einer großen Masse eintreten. Wenn sie von dem Schwerefeld eingefangen werden, geht ihre Bahn in eine Ellipsenbahn über.

Auch innerhalb der Mathematik hat die Hyperbel große Bedeutung. Bei der Inversion am Kreis in der gezeichneten Lage geht die Hyperbel in eine Strophoide über. So zeigt sich ein schöner Zusammenhang zwischen den hier untersuchten Kurven.

Geschichte

Ihre 2000 Jahre alte Geschichte teilt die Hyperbel mit den andern Kegelschnitten.


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Autoren Klasse 8aL  Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, letzte Änderung am 28. April 2007
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