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Johanneum 1998
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Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

apfel Kardioide, die Herzkurve

Geschichte

Ockham muss wohl in seine Teetasse geschaut haben, als er die Kardioide 1691 in sein Lexikon der Mathematik aufnahm, denn dort (in der Teetasse) kann man sie bewundern, sofern man gut genug hinschaut. Man sollte auch wissen, dass es sich hier um eine halbe Nephroide handelt. Den Namen Kardioide bekam die Kurve allerdings von Cascillon 1741.

Nutzen:

Eine Anwendung findet die Kardioide in der fraktalen Geometrie, denn sie ist ein entscheidender Teil der Mandelbrotmenge oder (im Volksmund ) des Apfelmännchens. Eine kommerzielle Anwendung hat die Kardioide allerdings nicht (wenn sie eine wissen sollten, können sie uns ja schreiben!)

Kardioide und Reflexion

Wie sieht nun diese Kurve aus?

Eigentlich lässt sich dies anhand des Namens sagen. Denn Kardioide heißt frei übersetzt
Herzkurve. Man kann sie in einer Kaffeetasse oder einem goldenen Fingerring beobachten, wenn helles Licht auf einen Punkt des Innenrandes fällt.
Im rechten Bild sieht man einen großen Kreis, den Tassenrand. Vom äußersten linken Punkt des Kreises gehen Lichtstrahlen aus, die aber nicht gezeichnet sind. Man kann sie nämlich auch in einer Kaffeetasse nicht sehen. Dafür sieht man aber die am Tassenrand reflektierten Strahlen. Sie sind hier (als Geraden) gezeichnet. Sie überlagern sich und hüllen eine Kurve ein, nämlich die Kardioide. Darum ist die Kardioide eine Katakaustik (Hüllkurve von reflektierten Strahlen).

Fällt paralleles Licht, z.B. Sonnenlicht in die Tasse, so ist die entstehende Katakaustik eine Nephroide. (Schupp)
Wir haben mit der Hand viele Strahlen gezeichnet. Mit "Euklid" geht es nicht, weil man nur für Punkte und nicht für Geraden die Spur verfolgen kann. Anmerkung: Allerdings kann man es mit dem Ti-92. Da kann man gut die Katakaustiken erkennen. Diese Bilder sind mit Mathematika gemacht. Das können wir noch nicht bedienen, weil man dazu mehr Mathematik können muss.

Wie lässt sie sich geometrisch konstruieren?
Das geht fast genauso wie bei der Hundekurve, nur die Straße ist nun ein Kreis durch den Baum. Die Leine ist doppelt so lang wie der Radius des Kreises. Die Deutung mit dem Hund klappt nicht so ganz, aber mathematisch entsteht wirklich die Kardioide.

Konstruktionsbeschreibung

    Pascalsche Schnecken, Kardioide und noch andere Kurven <
  1. Zeichne an den Rand eine Strecke, die die Leinenlänge darstellt, und miss ihre Länge.
  2. Zeichne eine Gerade BM und auf ihr einen Punkt A.
  3. Zeichne um M einen Kreis durch A. Radius r=c/2.
  4. Setzte einen Punkt H auf den Kreis.
  5. Zeichne die Gerade HB.
  6. Der Kreis um H mit der Leinenlänge aus 1) als Radius schneidet diese Gerade in P und P'.
  7. Gesucht ist der geometrische Ort von P und P', wenn H auf dem Kreis um M läuft.

Die allgemeinereren Fälle ergeben merkwürdige Kurven, die wir nicht mehr untersucht haben.



Liegt b nicht auf dem Straßenkeis, ergeben sich mit dem DGS Euklid und auch mit Mathematica zerfallende Kurven. Deren Namen haben wir nicht gefunden.

Gleichungen für die Pascalschen Schnecken.
Speziell mit erhält man die Kardioide :

Sei BM die x-achse, auf der y-achse stehe B und c sei die Leinenlänge.
Der Baum B steht in A, also auf dem Straßenkreis. Stets ist c epsilon  = 2 R, dem Durchmesser des "Straßenkreises". Dann gilt:

Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten Dieses ist eine algebraische Gleichung 4. Grades, weil x und y nur in Summen und Produkten vorkommen und der höchste Exponent (nach dem Klammerauflösen) 4 ist. Darum sind die Kardioide und die anderen Pascalschen Schnecken algebraische Kurven 4. Grades.

Gleichung in Polarkoordinaten,
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Autoren: Klasse 8al Johannes Härke, Eike Petersen, Clemens Mädge, [Abi 2003] Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, Letzte Änderung am 28. April 2007
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