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Exposystem Johanneum zur EXPO 2000 cissoiden


Johanneum 1998
Alphabetischer Index unten
Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

Kegelschnitte im Überbick
Gemeinsame Eigenschaften und Gleichungen

Leitgeradenkonstruktion Experimentierblätter Scheitelgleichung Ursprungslage Reflexion nah Namensgeheimnis

Konstruktion aller Kegelschnitte
mit einer Leitgeraden

Ein Kegelschnitt ist der geometrische Ort aller Punkte,  die von einer festen Geraden, den k-fachen Abstand wie von einen festen Punkt, dem Brennpunkt F haben.
Also: k mal Abstand Qg = Abstand QF

Konstruktion  (Klasse 8)

  1. Zeichen eine waagerechte Grundgerade g6 und in O senktrecht dazu die Leitgerade g. Setze F auf g6
  2. Setze einen  freien Punkt auf g6 (hier grün zwischen Q1 und Q2). Er heiße G.
  3. Miß GO.
  4. Errichte in G eine Senkrechte auf g6. (hier versteckt).
  5. Schlage um F einen Kreis mit dem Radius GO/k .
  6. Er schneidet 4. in Q1 und Q2.
  7. Gesucht ist die Ortskurve von Q  wenn an G gezogen wird.
  8. Verschiedene Formen je nach Wahl von k:

Konstruktion mit Hilfe des Strahlensatzes (ab Klasse 9)

Mit EUKLID: Man legt sich eine Strecke AB zurecht, markiert  die Mitte M und setzt einen Punkt W auf die Strecke.
Durch A legt man eine Gerade mit einem freien Punkt P. Die Parallele zu PB durch W schneidet die Gerade in Z.
Nun teilt Z AP in demselben Verhältnis wie W AB teilt. (Beim Ti92 u.a.DGS bleiben Teilverhältnisse beim Ziehen erhalten, man braucht dann nur Z auf AP zu setzen.)
Im obigen Bild ist AZ mit einer Senkrechten als OG übertragen. ZP dient als Radius eines Kreises um F.
Wie oben ergeben sich nun alle Kegelschnitte, indem man W rechts von M (Ellipsen) auf M (Parabel) oder links von M (Hyperbel) platziert.

Ergänzungen:

Man erhält auf diese Weise einen Schar von konfokalen Kegelschnitten. Die Parabel halbiert den Abstand Fg, unten mit pp bezeichnet. Dort liegt üblicherweise der Koordinatenursprung. In dieser Darstellung ergibt sich die Gleichung der Schar zu:

Die Ordinaten am Brennpunkt heißen Halbparameter p. Es gilt p=k mal pp. Damit ist 2p die Länge der "Brennpunktsehne".

Die Scheitelllage ist


Experimentierblätter für die Arbeit von Hand

Man zeichnet eine der Senkrechten als Leitgerade aus. Dann kann man Kegelschnittpunkte   für einige k durch Abzählen erzeugen und farbig markieren. In dieser Weise eignet sich das Blatt für eine Klassenarbeit. nach dieser Unterrichtsphase.
Blatt in größer Darstellung als Vorlage (20K)

Von obiger Darstellung zu unterscheiden ist die oft Büchern zu findende Scheiteldarstellung aller Kegelschnitte. Dazu gehört folgende Gleichung, bei der EPS.gif (66 Byte)=k  und p= k pp ist:


Übliche  Gleichnungen
in Ursprungslage


Mit Ellipse und Hyperbel ergeben sich in dieser Lage auch Rotationskörper (für Klasse 12) mit wunderschönen Volumenverhältnissen. Freie Erkundunsausgabe dazu. Das Rechteck hat die Breite 2a und die Höhe 2b. a und b sind die Halbachsen von Ellipse und Hyperbel. Ellipse und Parabel sind konfokal NeuHarmonia
Harmonie der Kegelschnitt- Rotationskörper

Reflexionseigenschaften

Die Kegelschnitte haben die gemeinsame Eigenschaft, dass Strahlen, die von einem Brennpunkt ausgehen, an der Kurve in besonderer Weise reflektiert werden. Bei der Ellipse verlaufen sie durch den anderen Brennpunkt. Bei der Hyperbel scheinen sie vom anderen Brennpunkt zu kommen. Bei der Parabel verlaufen sie achsenparallel, deren "zweiter Brennpunkt" liegt "im Unendlichen"


Schon im Mittelalter wurden elliptische Bögen als Flüstergewölbe gebaut.
Modernste Anwendung findet dieses Prinzip beim Nierensteinzertrümmerer, bei dem ohne Operation ein in einem Brennpunkt platzierter Nierenstein von den im anderen Brennpunkt ausgehenden Stoßwellen zerstört wird.
Beim Autoscheinwerfer wird das in einem Brennpunkt erzeugte Licht parallel gerichtet, ebenso sind Parabolantennen beim Richtfunk im Einsatz. Beim Spiegelteleskop wird die schwache Energie des Sternenlichtes im Brennpunkt eines Parabolspiegels gebündelt und so erst messbar gemacht.
BEWEIS
Beim Spiegelteleskop wird der Brennpunkt des Parabolspiegels als Brennpunkt eines kleineren Hyperbolspiegels genommen. Dass von rechts das parallele Sternenlicht kommt und von einem großen Parabolspiegel reflektiert wird, ist hier nicht gezeichnet. Der Parabolspiegel hat in dem hier dargestellten linken Hyperbelbrennpunkt seinen Scheitel und ein kleines Loch. Dadurch tritt das Licht nach außen und kann ohne Störung der Messung beobachtet werden.

Polarkooerd.-FormelGemeinsame Polargleichung aller Kegelschnitte
Dabei liegt der Pol im Brennpunkt. Die Lage entspricht der der obigen konfokalen Kegelschnitte.

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Autoren Klasse 8aL Maike, Harriet, Maria, Anna-Maria, Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, letzte Änderung am 28. April 2007
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