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Johanneum 1998
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Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

Parabel

Definition

Die Parabel ist eine ebene Kurve, die zu den Kegelschnitten gehört. Bei der Parabel hat jeder Punkt von einer festen Geraden, der Leitlinie g, denselben Abstand wie von einem festen Punkt, dem Brennpunkt F.

Konstruktion

An Z wird eine Parallele zur Leitgeraden g nach außen gezogen. Der Abstand Zg wird als Radius für einen Kreis um F verwendet. Die Schnittunkte P1 und P2 dieses Kreises mit der Parallelen zu g  durch Z sind die Parabelpunkte.

Reflexionseigenschaft der Parabel
Strahlen die von Brennpunkt ausgehen, werden achsenparallel reflektiert.
Achsenparallel einfallende Strahlen werden zum Brennpunkt reflektiert.

Nach Konstruktion ist HP=FP, t ist die Mittelsenkrechte im Dreieck HFP. Andere Punkte von t sind von F und H gleichweit entfernt, also näher an g als an F. Kein anderer Punkt auf t als P selbst kann also zu der Parabel gehören. Damit ist t Tangente an die Parabel. n ist die Normale, die Senkrechte auf der Tangente. Die Winklel zwischen t und den blauen Geraden durch P sind alle gleich groß. Damit sind auch die Winkel, die der achsenparallele Strahl und der Brennpunktstrahl mit n bilden gleich groß. Also ist eine Reflexion an P beschrieben, n ist das Einfallslot.
Alle Kegelschnitte haben höchst bemerkenswerte Reflexioneigenschaften.

Übliche Formel für obige Lage:
Der Ursprung liegt im Scheitel.
Übliche Formel im Schulunterricht mit der Parabelachse parallel zur y-Achse
Die Gleichung oben links ist der Sonderfall der allgemeinen Kegelschnittgleichung  für epsilon=1
Entspechend ergibt sich  die Gleichung in Polarkoordinaten.
Dabei liegt der Pol im Brennpunkt, die Parabel ist nach rechts geöffnet.

Anwendungen

Wie oft die Parabel wird in unserem Alltag auftritt, wird uns meist nicht bewußt.

Zum Beispiel ist die Laufbahn beim Werfen eines Balles eine Parabel. Der Ball fällt vom höchsten Punkt in einer Kurve derselben Form wieder zurück, wie er nach oben geworfen wurde. Der Unterschied dabei ist aber, daß die Kurve gespiegelt ist. Beide Bögen bilden die Parabel.
Auch bei Springbrunnen fliegen die Wassertropfen auf Parabelbahnen. Beim Feuerwerk sieht man ganze Parabelfamilien

Die Reflexionseigenschaft der Parabel wird in vielen optischen Geräten und bei Antennen ausgenutzt

Manche Gesetzmäßigkeiten in Natur und Technik können die "Parabelgesetze" beschrieben werden.

Wenn ein Wasserglas rotiert, steigt das Wasser an den Rändern höher als innen, der Querschnitt der Wasseroberfläche bildet eine Parabel. (gefunden bei Schupp)

Im Mathematikunterricht ist die Parabel als einfachste gebogene Kurve besonders beliebt.

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Autoren Klasse 8aL  Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, letzte Änderung am 28. April 2007
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