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Johanneum 1998
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Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

Die Traktix, eine nicht-algebraische Kurve

Zuerst haben wir geglaubt (nach Weth), die Hundekurve hieße Traktix. Das fanden wir einleuchtend, weil Traktrix von trahere=ziehen kommt und der Hund ja an der Leine zieht.
Als wir aber in Büchern nach der Gleichung gesucht haben, fanden wir bei Schupp, dass der Traktrix ein anderes Prinzip zugrunde liegt:

Geschichte der Traktrix

Gottfried Wilhelm Leibniz (*1646 – 1716) beschrieb die Traktrix dadurch, daß er eine Taschenuhr mit Kette so auf den Tisch legte, dass die Kette senkrecht zur Tischkante lag. Zog er nun das Kettenende an der Tischkante (hier rechts rot) entlang, war die Bahn der Uhr eine Traktrix. Daher heißt die Traktrix auch "Schleppkurve"

Gleichung

Die Gleichung gibt die Bahn der Uhr wieder, wenn man a als Länge der Kette und ß als Steigungswinkel der Uhrkettengeraden interpretiert.
Bei Schupp/191 ist tau als Winkel der Tangente der Kette mit der Tischkante gezeichnet, die dort angebenen Formeln passen aber nicht dazu, sondern zu ß, dem Ergänzungswinkel zum rechten Winkel von tau.

x ( ß ) = a  ·  ( 1 -  cos ß ) ;

y (ß ) = a · Ln (tan( Pi/4 + ß/2)) – a · sin ß

Eine algebraische Gleichung mit x und y ohne ß, also eine Gleichung, bei der außer x und y und deren Potenzen nur noch der Parameter a vorkommt, gibt es nicht.
Genau darum ist die Traktrix keine algebraische Kurve. Nicht-algebraische Kurven heißen transzendente Kurven. (Latein: transcendere=übersteigen) Sie "übersteigen" die Möglichkeiten der Algebra und damit auch die Möglichkeiten von Klassse 8. Transzendente Funktionen, wie sie auch schon in obiger Gleichung vorkommen, sind erst in Klasse 10 Thema.

Obwohl es einige transzente Kurven gibt, die man mit einem DGS wie Euklid konstruieren kann ( Sinuskurve, Zykloide...), ist uns das für die Traktrix nicht gelungen.
Die Traktrix und die Hundekurve haben ein ähnliches Aussehen. Die Uhrkette ist aber immer Tangente an die Traktrix, während die Hundeleine die Hundekurve (fast) immer schneidet.
Bei Veränderung der Uhrkettenlänge ergibt sich stets dieselbe Form, während bei Veränderung der Leinenlänge bei fester Baumstellung unterschiedliche Hundekurvenformen entstehen.
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Autoren Klasse 8aL Malte Bading, Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, letzte Änderung am 28. April 2007
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