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Exposystem Johanneum zur EXPO 2000 cissoiden


Johanneum 1998
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Die Natur als Erfindung des Menschen
Mathematik als Erfindung des Menschen   

Die Trisektrix

Konstruktionsbeschreibung der Trisektrix:

  1. Zeichne die Gerade OS.
  2. Wähle A beliebig und zeichne die Gerade OA.
  3. OA bildet mit OS den Winkel phi. Konstruiere eine Gerade g durch S, die mit OS den Winkel 3 phi bildet.
  4. OA und g schneiden sich in P.
  5. Die Trisektrix ist der geometrische Ort von P, wenn sich OA um O dreht.

Die Geschichte:

Wie die Cissoide und die Konchoide dient auch die Trisektrix zur Lösung eines "klassischen" Problems der Geometrie, dem Dritteln des Winkels.

Im Laufe der Zeit beschäftigten sich viele Mathematiker und Laien damit, dieses Problem an einem beliebigen Winkel mit Zirkel und Lineal zu lösen. Dass das nicht möglich ist, kann man aber heute mit den Methoden der Algebra zeigen. Aber es gibt nichtelementare Lösungen, also solche, die außer Zirkel und Lineal auch noch andere Hilfsmittel verwenden. Unter denen befinden sich viele, die algebraische Kurven zu Hilfe nehmen.

Die bekannteste dieser Kurven ist die Trisektrix, die von Collin MacLaurin ( 1698-1746 ) erfunden wurde. Dieser Schotte wurde mit 19 Jahren Professor für Mathematik in Aberdeen und ab 1726 in Edinburgh. Sein wichtigstes Werk "A treatise of fluxions" verfasste er 1746.

Die Konstruktion der Trisektrix von MacLaurin ist überraschend einfach.

Winkeldritteln mit der Trisektrix:

Hat man eine genaue Zeichnung einer Trisektrix (rechts im 1:1 Maßstab), so findet man S als Teilungspunkt 2:1 der Strecke vom Kreuzungspunkt O zum Scheitelpunkt. Trägt man nun in S den Winkel an, den man Dritteln will, so braucht man nur den Schnittpunkt des freien Schenkels mit der Trisektrix mit O zu verbinden und erhält den Drittelwinkel.

Die mathematischen Formeln der Trisektrix

Der Ursprung des Koordinatensystems liege in O und der Abstand OS sei 2a.
Dann gilt die implizite Gleichung
Dieses ist eine algebraische Gleichung 3. Grades, weil x und y nur in Summen und Produkten vorkommen und der höchste Exponent (nach dem Klammerauflösen) 3 ist. Darum ist die Trisektrix eine algebraische Kurve 3. Grades.

Eine Parameterdarstellung ergibt sich unmittelbar aus dem Schnitt der beiden Geraden g1 und g2, indem man x eliminiert.
und

Eliminiert man aber mit Hilfe der trigonometrischen Formel den Winkel, so erhält man obige xy-Formel.

Gleichung in Polarkoordinaten ist

Besonderheit: Die Trisektrix geht bei Inversion an dem Kreis um den Scheitel durch O in sich über. Darum gehört die Trisektrix zu den anallagmatischen Kurven.
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Autoren Klasse 8aL Hauke Doerk, Web: [Dr. Dörte Haftendorn] Frühjahr 1998, letzte Änderung am 28. April 2007
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