Informationssystemsystem Johanneum Lüneburg Dr. Dörte Haftendorn
Chaos und Fraktale
Alphabetischer Index unten
Informationssystem
Mathematik  Chaos  Wegfraktale  Galerie  

Chaos und Fraktale jetzt neu nur bei Mathematik-Verstehen an der LEUPHANA Uni Lüneburg
Dort steht alles, was Sie hier sehen in neuer Gliederung mit deutlich weitergeführten Inhalten

Teufelstreppe

Teufelstreppe stufenweise Dimension LOGO nahGalerie der Wegfraktale
Rechnungen Fazit Didaktik L-System nahLeitseite der Wegfraktale






hoch ab 1. und 2.,
3. und 4.
und 5. Stufe





Hier stellt man sich die Stufe 1 als Inititator (Startfigur) vor.
Dabei ist die große waagerechte Stufe dreimal so lang wie einleitende Stufe, dieses kurze Element sei b.
Bei jedem Schritt werden die bisherigen waagerechten Elemente beibehalten, ein Drittel des kürzesten waagerechten Elementes wird in der Mitte waagerecht in das halbierte senkrechte Element a eingefügt.
hoch ab Daher wird die Teufelstreppe bei jedem Schritt breiter, aber nicht höher.
Die Breite wird durch folgende geometrische Summe beschrieben:
Breite = b ( 3 + 1 +2/3 + 4/9 + 8/16 + ....) = b ( 3 +1/(1-2/3)) = 6 b
Trotz dieser endlichen Breite, die nur das Doppelte der großen Anfangsstufe ist, wächst die Stufenzahl der Teufelstreppe ins Unendliche.

Daher ist die Teufelstreppe ein Fraktal.

Dimension
Die Teufelstreppe ist nicht streng selbstähnlich. Versucht man, verkleinerte Kopien ihrer selbst zu finden, so stören die gleichlang bleibenden Stücke und die Verschiedenheit der Stauchfaktoren für senkrechte und waagerechte Längen.
Mit der nahSelbstähnlichkeits-Dimension kommt man also nicht zurecht.

Bei einer Messung der nahBoxdimension wird vermutlich etwa d=1 herauskommen.
Didaktik

Die Teufelstreppe läßt sich recht leicht auf Karopapier zeichnen. Die Überlegung zur Breite ist im Thema geometrische Reihen sinnvoll. Sie ist ein schönes Beispiel dafür, dass Fraktale zwar ihren Namen von der möglicherweise nichtganzen (gebrochenen) Dimension haben, dass es aber auch Fraktale mit Dimension 1 gibt.

Lindenmayer-System

Axiom A

Regeln A ABA

Der Baustein B tritt als eigene Prozedur auf.

B BBB

Deutung A=F+V-

B=FFF

+=90 links -= 90 rechts

F und V erscheinen als vorwärts-Befehle mit Schrittweiten a bzw. b

Berücksichtigt man die Deutung, so kann man das Axiom in der Abbruchbedingung der Rekursion wiedererkennen.

Weg-Prozeduren mit Igelgraphik Hier gezeigt in LOGO, ebenso geht es mit Turtlegraphik in Pascal.

PR teufel :n :b :a
wenn :n = 0 dann vw :b li 90 vw :a re 90 rk
teufel (:n-1) (:b/3) (:a/2)
teufelmitte (:n-1) (:x/3)
teufel (:n-1) (:b/3) (:a/2)
ENDE

PR teufelmitte :n :b
wenn :n=0 dann vw 3*:b rk
teufelmitte (:n-1) (:b/3)
teufelmitte (:n-1) (:b/3)
teufelmitte (:n-1) (:b/3)
ENDE

Fazit: L-Systeme lassen sich in rekursive Weg-Prozeduren übersetzen. Hier ist dies für ein Beispiel ohne Knoten gezeigt. In Pascal lassen sich auch die Knoten einfach rekursiv verwalten. In LOGO ist es vernünftig, eine dynamische Liste für die Knotenkoordinaten zu eröffnen.
Die naheliegende Versuch, das Lindenmayerwort wirklich zu bilden, stößt leider sehr schnell an die Grenzen der Speichermöglichkeiten. Man muß es während seiner Bildung sofort "abarbeiten".-

nahSelbstähnlichkeitsdimension nahGalerie der Wegfraktale nahLeitseite Wegfraktale
Chaos und Fraktale jetzt neu nur bei Mathematik-Verstehen an der LEUPHANA Uni Lüneburg
Dort steht alles, was Sie hier sehen in neuer Gliederung mit deutlich weitergeführten Inhalten



obenAutor: © [Dr. Dörte Haftendorn]  Datum März 97. Letzte Änderung am 29. April 2007
Informationssystem [Fächer] [Mathematik] [Chaos] [Wegfraktale] [Galerie] [Webteam] [] Schulentwicklung